Γ Λυκείου ΓΕΝΙΚΗ

Στο τέλος κάθε καφαλαίου βρίσκονται οι απαντήσεις των ερωτήσεων κατανόησης του 
σχολικού βιβλίου.

__________________________________________________ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
α. Ονομάζουμε συνάρτηση μια σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών x και y έτσι ώστε σε κάθε τιμή 
     του x να αντιστοιχεί μία μόνο τιμή του y. To x λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το y 
     λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή.
π.χ. η σχέση y=2x+3 είναι συνάρτηση, ενώ η x2+y2=9 δεν είναι,διότι για x=0 => y=3 ή y=-3.

β. Μία συνάρτηση έχει όνομα π.χ. f, g, φ, σ, κλπ. Για την συνάρτηση f χρησιμοποιούμε το f(x
    αντί για το y.

γ. Τις τιμές του x τις παίρνουμε από ένα σύνολο που λέγεται πεδίο ορισμού π.χ Α. Οι 
     αντίστοιχες τιμές του y που βρίσκουμε αποτελούν το σύνολο τιμών f(A).



__________________________________________________
ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ:
Λέγεται το "ευρύτερο" υποσύνολο του R, για το οποίο έχει νόημα το f(x). 
Το πεδίο ορισμού το βρίσκουμε στον αρχικό τύπο της συνάρτησης και όχι σε αυτόν που θα προκύψει από τυχόν απλοποιήσεις

Πεδίο ορισμού βασικών συναρτήσεων:
  α) Αν f(x)=πολυώνυμο τότε Α=R
π.χ. Η f(x)=4-xέχει πεδίο ορισμού το R. 






















 δ) Οι συναρτήσεις f(x)=ημx, f(x)=συνx έχουν πεδίο ορισμού το R.
π.χ. η f(x)=ημ(4-x) έχει πεδίο ορισμού το R.


ε)  Η συνάρτηση f(x)=logx ή f(x)=lnx έχει πεδίο ορισμού το Α=(0,+∞)
π.χ. Η f(x)=ln(4-x) ορίζεται αν 4-x2>0 (α) 
       Η ανίσωση (α) είναι δευτέρου βαθμού. Θα λύσουμε την αντίστοιχη εξίσωση 4-x=0 που έχει
       ρίζες -2 και 2 και στην συνέχεια πάνω στον άξονα βρίσκουμε ότι Α=(-2,2).
      (περισσότερα για τις ανισώσεις βαθμού μεγαλύτερου του πρώτου στη σελίδα
      Α Λυκ.  ΑΛΓΕΒΡΑ. http://colpomath.blogspot.gr/p/blog-page_24.html

στ) Η συνάρτηση f(x)=αx έχει πεδίο ορισμού Α=R.  (Υπόψη 0<α≠1)

________________________
ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
α) Κάθε τιμή του x με την αντίστοιχη τιμή του y  (ή f(x)) ορίζουν ένα σημείο Α(x,y). 
        Όλα τα σημεία μαζί σχηματίζουν μία γραμμή που είναι η γραφική παράσταση Cf.
β) Ένα σημείο βρίσκεται στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης αν οι συντεταγμένες του  
        σημείου επαληθεύουν τον τύπο της συνάρτησης.
 π.χ. το σημείο Α(2,3) ανήκει στην συνάρτηση f(x)=4x-5 αφού f(2)=3.
 
 Σημεία τομής συνάρτησης με άξονες.
 Για να βρούμε τα σημεία τομής μιας συνάρτησης με τους άξονες θέτουμε x=0 και βρίσκουμε το y και μετά θέτουμε y=0 και βρίσκουμε το x (λύνοντας την εξίσωση που προκύπτει).
π.χ.η συνάρτηση y=x2-4 τέμνει τους άξονες στα σημεία Α(0,-4), Β(-2,0) και Γ(2,0)

Σημεία τομής δύο συναρτήσεων.
Για να βρούμε τα σημεία τομής δύο συναρτήσεων f και g, λύνουμε την εξίσωση f(x)=g(x).
π.χ. Να βρείτε τα σημεία τομής των συναρτήσεων f(x)=2x+1 και g(x)=x+2.
       Έχουμε: f(x)=g(x)
                     2x+1=x+2
                    Άρα x=1
        Επομένως τέμνονται στο Α(1,3)

Θέση συνάρτησης στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

    A. Όταν λέμε ότι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης βρίσκεται "πάνω" από τον άξονα x'x  εννοούμε ότι f(x)>0







ΒΌταν λέμε ότι η γραφική παράσταση μιας 
      συνάρτησης βρίσκεται "πάνω" από την 
      γραφική  παράσταση της gεννοούμε ότι f(x)>g(x).











 Να μάθετε απέξω τις γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων!!
Γνωρίζοντας π.χ. την γραφική παράσταση της f(x)=eέχετε αυτόματα στο μυαλό σας την μονοτονία της, τις ακραίες οριακές τιμές τα σημεία τομής με άξονες κ.λ.π.






__________________________________________________
 ΟΡΙΟ ΣΤΟ  x0







__________________________________________________
ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ















__________________________________________________
                                  ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ
__________________________________________________

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ
H παράγωγος της συνάρτησης f στο x0 είναι ένας αριθμός που εκφράζει την μεταβολή
του y=f(x) σε μια ελάχιστη μεταβολή του x. Δείτε το παρακάτω σχήμα.







Το x0 αυξάνεται κατά h και γίνεται x0+h. Παρατηρείστε την αύξηση του y σε καθεμιά συνάρτηση.
Αν αλλάξει το x0 αλλάζει και η παράγωγος. (ανάλογα με την συνάρτηση βέβαια).
Αυτή η μεταβολή του y είναι χρήσιμη σε προβλήματα κίνησης, βιολογίας, οικονομίας κ.λ.π.





Οι παράγωγοι χρησιμεύουν:
α) Για την εύρεση του συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης καμπύλης. (Βλέπε παρακάτω)
β) Για την εύρεση του ρυθμού μεταβολής του y ως προς x. (Βλέπε παρακάτω)
γ) Για την εύρεση της ταχύτητας ενός κινητού. (Βλέπε παρακάτω)
δ) Για την μελέτη της μονοτονίας και των ακροτάτων μιας συνάρτησης. (Βλέπε παρακάτω)


_____________________________________________
Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ  (είναι συνάρτηση)

                                          ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ









π.χ.1 Να βρείτε την παράγωγο της f(x)=ημ(x3+2x-3) (Σύνθεση δύο συναρτήσεων)
         Γνωρίζουμε ότι (ημg(x))'=συνg(x)·g'(x). Στην περίπτωσή μας το g(x) του παραπάνω
         τυπολογίου είναι το πολυώνυμο.
         Άρα f '(x)=συν(x3+2x-3)(3x2+2)

π.χ.2 Να βρείτε την παράγωγο της f(x)=ημ3(ex+2x). (Σύνθεση τριών συναρτήσεων)
         Αν έχουμε παράγωγο δύναμης τριγωνομετρικής συνάρτησης να την γράφουμε με
         τον εκθέτη εκτός παρένθεσης.
        Δηλαδή f(x)=ημ3(ex+2x)=[ημ(ex+2x)]      Το g(x)  του τυπολογίου είναι η αγκύλη.
           Άρα f '(x)=3[ημ(ex+2x)]2[ημ(ex+2x)]'=     Το g(x)  είναι το ημ(ex+2x)
         =3[ημ(ex+2x)]2[συν(ex+2x)](ex+2x)'        Το g(x)  είναι το (ex+2x)
         =3[ημ(ex+2x)]2[συν(ex+2x)](ex+2).

π.χ.3  Αν f(x)=x3+2x-3, να βρείτε την f '(ημx) και την (f(ημx))' ΔΕΝ είναι το ίδιο.!
         α)  Στην πρώτη θα βρούμε την f '(x) και μετά θα θέσουμε όπου x το ημx.
             Άρα f '(x)=3x2+2 και f '(ημx)=3ημ2x+2.
         β) Στην δεύτερη θα θέσουμε όπου x το ημx και μετά θα παραγωγίσουμε.
            Άρα f(ημx)=(ημx)3+2ημx-3 και (f(ημx))'=3(ημx)2συνx+2συνx

π.χ.4 Να βρείτε την παράγωγο της f(ημx).
         Έχουμε (f(ημx))'=f '(ημx)συνx


_________________________________________________
ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ
Α) Εύρεση εφαπτομένης
Δίνεται από τον τύπο y=λx+β όπου λ=f '(x0) και M(x0,f(x0 )) το σημείο επαφής.
π.χ. Να βρείτε την εφαπτομένη της f(x)=x2+1 στο σημείο με τετμημένη 1.
      αx0=1
        β) f(x0)=x02+1, άρα f(1)=1+1=2. Δηλαδή το σημείο επαφής είναι το Μ(1,2).
      γ) f '(x)=2x, Άρα λ=f '(1)=2.
      δ) ε: y=λx+β και 2=2+β. Άρα β=0.
      ε) Η εφαπτομένη είναι ε: y=2x.

_____________________________
Β) Εφαπτομένη απ΄την... ανάποδη.
Όταν μας ζητούν η εφαπτομένη να ικανοποιεί κάποια υπόθεση τότε ξεκινάμε από το σημείο 
     επαφής.
π.χ. Να βρείτε την εφαπτομένη της f(x)=x2 η οποία είναι παράλληλη στην y=2x+1821. (Τότε με
       ...τους Πέρσες!!)
       Έστω Μ(x0,y0) το σημείο επαφής. Τότε f '(x)=2x άρα λ=f '(x0)=2x0   και λόγω παραλληλίας 
       πρέπει 2x0=2 άρα x0=1. Το σημείο επαφής επομένως είναι Μ(1,1) κ.λ.π.

_____________________________________________________________________________
π.χ. Να δείξετε ότι η ε: y=-2x+1 εφάπτεται της συνάρτησης f(x)= 4x2+2x+2. Ποιο είναι το σημείο
       επαφής;   
       1ος τρόπος: Για να εφάπτεται η ε στην συνάρτηση πρέπει να έχουν κοινό σημείο.
        Άρα 4x2+2x+2=-2x+1 (1)
                4x2+4x+1=0
                (2x+1)2=0 άρα x=-1/2 (*)
        To κοινό σημείο είναι το Α(-1/2,2)
        Για να είναι σημείο επαφής πρέπει f '(-1/2)=-2 που ισχύει.
        Άρα η ε είναι εφαπτομένη της f.
        (*) Επειδή η τιμή x=-1/2 είναι διπλή ρίζα της εξίσωσης (1) το Α είναι σημείο επαφής.
        2oς τρόπος: Αν Μ(x0, f(x0)) είναι το σημείο επαφής πρέπει f '(x0)=-2
         8x0+2=-2, άρα x0=-1/2. κ.λ.π.

_________________________________________________________________
π.χ. Για ποια τιμή του α η (ε):y=x-4 είναι εφαπτομένη της f(x)=x2+3x+α, αЄ
         
         Έστω Μ(x0,f(x0)) το σημείο επαφής. Για να είναι η (ε) εφαπτομένη της f πρέπει f '(x0)=1
         όπου 1 ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας.
         Έχουμε: 2x0+3=1 άρα x0=-1.
         Το σημείο επαφής θα το βρούμε από την ευθεία!
         Για x=-1 έχουμε y=-1-4=-5, και Μ(-1,-5)
         Αντικαθιστούμε στην συνάρτηση και βρίσκουμε α=-3.

___________________
Γ) Κοινή εφαπτομένη
Δύο συναρτήσεις f και g έχουν κοινή εφαπτομένη στο xαν f(x0)=g(x0) και f '(x0)=g'(x0).
























Δ) Δύο συναρτήσεις εφάπτονται αν στο κοινό τους σημείο έχουν κοινή εφαπτομένη.

Ε) Αν μία ευθεία y=λx+β έχει κοινό το σημείο A(x0,f(x0)) με μία συνάρτηση f θα είναι εφαπτομένη
     της f στο σημείο αυτό αν λ=f '(x0).  (Διαφορετικά θα είναι σημείο τομής).

ΣΤ) Μία ευθεία y=λx+β είναι εφαπτομένη της συνάρτησης f στο A(x0,f(x0)).
       Τότε ισχύουν: f '(x0)=λ και f(x0)=λx+β. 

Ζ) Κλίση μιας συνάρτησης f στο A(x0,f(x0)) λέγεται  ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης 
      στο Α, δηλαδή λ=f '(x0).

Η) Να θυμηθούμε λίγα από τα παλιά.
    Εφαπτομένη της Cπαράλληλη στην y=λx+β σημαίνει f '(x0)=λ.
    Εφαπτομένη της Cκάθετη στην y=λx+β σημαίνει f '(x0)·λ=-1. (αντιθετοαντίστροφοι αριθμοί !)
    Εφαπτομένη της Cπαράλληλη στον x'x σημαίνει f '(x0)=0.
    Εφαπτομένη της Cf  που σχηματίζει γωνία 450 με τον x'x σημαίνει f '(x0)=1.

_________________________________________________
ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΚΙΝΗΤΟΥ (όχι...τηλεφώνου!!)
 Όταν η συνάρτηση θέσης ενός κινητού είναι x(t) τότε:
      α) Η στιγμιαία ταχύτητα είναι υ(t)=x'(t)
      β) Η επιτάχυνση είναι α(t)=υ'(t)=x''(t)
      γ) Η μέση ταχύτητα του κινητού σε ένα διάστημα [t1,t2] είναι:
   



π.χ. Η θέση ενός κινητού σε άξονα δίνεται από τον τύπο x(t)=t3-6t2+9t, όπου το x μετριέται
       σε m και το t σε sec. Να βρείτε:
       α) Την ταχύτητα του κινητού σε χρόνο t=2sec και t=4sec.
       β) Πότε το κινητό είναι... ακίνητο;
       γ) Ποια είναι η επιτάχυνση, όταν είναι ακίνητο;
       δ) Πότε κινείται προς τα δεξιά και πότε αριστερά;
       ε) Ποια είναι η μέση ταχύτητα στο διάστημα [1,3].

Απαντήσεις
α) υ(t)=x'(t)=3t2-12t+9. Άρα υ(2)=-3m/sec. (κινείται προς τα αριστερά διότι -3<0).
                                               υ(4)=9m/sec. (κινείται προς τα δεξιά διότι 9>0).
β) Όταν υ=0 δηλαδή 3t2-12t+9=0... t=1 ή t=3
γ) Η επιτάχυνση είναι α(t)=υ'(t)=x''(t)=6t-12. Άρα α(1)=-6m/sec2 (επιβράδυνση)
                                                                               α(3)= 6m/sec2 (επιτάχυνση)
    (Αφελής ερώτηση: Αφού είναι ακίνητο πώς έχει επιτάχυνση;
    Όταν το αυτοκίνητο φρενάρει εμείς δεν συνεχίζουμε να κινούμαστε προς τα εμπρός την στιγμή 
    που σταματάει;)
δ) Κινείται προς τα δεξιά αν υ>0 και αριστερά αν υ<0.
    υ(t)=3t2-12t+9>0. Η αντίστοιχη εξίσωση 3t2-12t+9=0 έχει ρίζες t=1 και t=3.





_________________________________________________
ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ
Ονομάζεται ρυθμός μεταβολής του y=f(x), όταν x=x0, ο αριθμός f '(x0).
π.χ. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της f(x)=x3-6x2+9x όταν x=2.
         Έχουμε f '(x)=3x2-12x+9. άρα f(2)=-3. 

π.χ. Το βάρος Β(t) ενός ποντικού μετά t εβδομάδες δίνεται από τον τύπο B(t)=1+0,25(t+2)2
            Να βρείτε τον ρυθμό ανάπτυξης ύστερα από 2 ή 8 εβδομάδες.
         Έχουμε B'(t)=0,5t+1. Άρα Β'(2)=2 ή Β'(8)=5.

π.χ. Ένα ορθογώνιο έχει διαστάσεις x2 και 6-x. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού την
         στιγμή που είναι τετράγωνο.

Είναι τετράγωνο όταν x2=6-x, που έχει ρίζες x=2 και x=-3 (απορρίπτεται)
Μετατρέπουμε το εμβαδόν Ε=αβ σε συνάρτηση του x, δηλαδή
Ε(x)=x2(6-x)=6x2-x3.  Άρα  Ε'(x)=12x-3xκαι Ε'(2)=24-12=12.




__________________________________________________
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

α) Μία συνάρτηση λέγεται αύξουσα αν για x1< x2 ισχύει f(x1)<f( x2).  
      Μία συνάρτηση λέγεται φθίνουσα αν για x1< x2 ισχύει f(x1)>f( x2).  
 β) Μία παραγωγίσιμη συνάρτηση είναι αύξουσα αν f '(x)>0.
    Μία παραγωγίσιμη συνάρτηση είναι φθίνουσα αν f '(x)<0.
 
Προσοχή στο λέγεται και στο είναι. (Έχει πέσει ...πολύ κλάμα!)

Μία συνάρτηση είναι μονότονη αν είναι μόνο αύξουσα ή μόνο φθίνουσα.

_________________________________________________________________________
π.χ. Να μελετήσετε την μονοτονία της συνάρτησης f(x)=x3-3x+1.
        α) Η f έχει πεδίο ορισμού το R επειδή είναι πολυωνυμική. Δεν το ξεχνάμε!!
        β) f '(x)=3x2-3.
           f '(x)≥0 αν 3x2-3≥0. Η αντίστοιχη εξίσωση είναι 3x2-3=0 έχει ρίζες 1 και -1.
           Κατασκευάζουμε τον πίνακα μεταβολών:





f ↑ στο (-∞, 1], f ↓ στο [-1,1] και f ↑ στο [1,+∞). Τα διαστήματα είναι κλειστά!
Προσοχή!! Μη γράφετε  f ↑ στο (-∞, -1]U [1,+∞). Ενδέχεται να κάνετε λάθος.

­






__________________________________________________
ΑΚΡΟΤΑΤΑ
α) Μία συνάρτηση λέμε ότι παρουσιάζει μέγιστο στο x0 το f(x0) αν f(x) ≤ f(x0).
    Να θυμάστε ότι το x είναι μεταβλητή και το f(x) αντιπροσωπεύει όλη τη συνάρτηση, ενώ
    το f(x0) είναι ένας συγκεκριμένος αριθμός.
β) Μία συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο στο xτο f(x0) αν f '(x0)=0 και η f ' αλλάζει πρόσημο 
    εκατέρωθεν (τί θα πει αυτό;) του x0.

ΠΡΟΣΟΧΗ στο λέμε και στο παρουσιάζει. (Έχει πέσει και εδώ...πολύ κλάμα!)









_______________________________________________________________________________
π.χ. Ένα γραφείο ταξιδιών διοργανώνει κρουαζιέρες και απαιτεί συμμετοχή τουλάχιστον 100
         ατόμων προς 1000€ το άτομο. Για να αυξήσει την προσέλευση ταξιδιωτών κάνει την εξής
         προσφορά: "Για κάθε επιπλέον άτομο το εισιτήριο θα μειώνεται κατά 5€ σε κάθε άτομο". Πόσα
         άτομα πρέπει να δηλώσουν συμμετοχή ώστε το γραφείο να έχει μέγιστα έσοδα.
Λύση (προσέξτε την διαδικασία)
Τα 100 άτομα θα δώσουν 1000 € έκαστος και το γραφείο θα εισπράξει 100·1000 €
Τα 100+1 άτομα θα δώσουν 1000-5·1 € έκαστος και το γραφείο θα εισπράξει (100+1)·(1000-5·1) €
Τα 100+2 άτομα θα δώσουν 1000-5·2 € έκαστος και το γραφείο θα εισπράξει (100+1)·(1000-5·2) €
Τα 100+3 άτομα θα δώσουν 1000-5·3 € έκαστος και το γραφείο θα εισπράξει (100+3)·(1000-5·3) €
Τα 100+4 άτομα θα δώσουν 1000-5·4 € έκαστος και το γραφείο θα εισπράξει (100+4)·(1000-5·4) €
Μην κάνετε τις πράξεις!! Θα χάσετε τον μηχανισμό σχηματισμού του τύπου της συνάρτησης.
Αν δηλώσουν x επιπλέον άτομα τότε:
 Τα 100+x άτομα θα δώσουν 1000-5x € έκαστος και το γραφείο θα εισπράξει (100+x)·(1000-5x) €
Ζητάμε το μέγιστο της συνάρτησης f(x)=(100+x)·(1000-5x) κ.λ.π.










________________________________________________
                                     ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
________________________________________________

ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Στην Στατιστική πρέπει να γνωρίζουμε την ονοματολογία και τα σύμβολα.
Οι... δύσκολες πράξεις είναι με κλάσματα, δεκαδικούς και ποσοστά. Ξέρετε να κάνετε 
πράξεις με αυτούς ή θα γίνουμε...ρεζίλι; 
Οι περισσότερες ασκήσεις στηρίζονται σε πίνακα κατανομής συχνοτήτων. (Λέγεται έτσι γιατί
μας δείχνει πως κατανέμεται- μοιράζεται- ο πληθυσμός σε κομμάτια- συχνότητες).
Ονοματολογία
Το σύνολο που εξετάζουμε λέγεται πληθυσμός.
Τα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται άτομα.
1) Οι αριθμοί xi λέγονται τιμές της μεταβλητής Χ.
2) Οι αριθμοί νi λέγονται συχνότητες και δείχνουν πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή xi.
3) Οι αριθμοί fi λέγονται σχετικές συχνότητες.
4) Οι αριθμοί Νi λέγονται αθροιστικές συχνότητες και εκφράζουν το πλήθος των παρατηρήσεων
    που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής xi. (Υπόψη: νi=Ni-Ni-1)
5) Οι αριθμοί Fi λέγονται αθροιστικές σχετικές συχνότητες και εκφράζουν το ποσοστό των
    παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής xi. (Υπόψη: fi=Fi-Fi-1)









__________________________________________________
ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ





































___________________________________________________
ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ
Είναι μέτρο της θέσης του "κέντρου" των παρατηρήσεων.

A. Στα προβλήματα της μέσης τιμής χρησιμοποιούμε το Ελληνικό γράμμα  Σ (που χρησιμοποιείται  διεθνώς, ουάου!!) , το οποίο λειτουργεί ως εξής:

























B. Υπάρχουν ασκήσεις που μας δίνουν ή μας ζητούν τη μέση τιμή ενός υποσυνόλου του
     πληθυσμού. Ένα καλό colpomath δείτε στο επόμενο παράδειγμα:







___________________________________________________
ΔΙΑΜΕΣΟΣ
1) Είναι ένα μέτρο θέσης.
2) Χωρίζει ένα σύνολο σε δύο ίσα μέρη.
3) Είναι η τιμή για την οποία το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι μικρότερες από αυτήν και
    το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες από αυτήν. (ψιτ! πέφτει στις εξετάσεις).
4) Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττό η διάμεσος είναι μια από τις παρατηρήσεις.
Υπόψη: Αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μικρό τις διατάσσουμε σε αύξουσα σειρά κ.λ.π.
             Αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο κάνουμε πίνακα και από την στήλη των
             συχνοτήτων αναζητούμε το μέσον κ.λ.π.

Υπόψη: Την διάμεσο την εντοπίζουμε από τις συχνότητες  και την υπολογίζουμε  από τις τιμές    
              της μεταβλητής
         
π.χ. Να βρείτε την διάμεσο των παρατηρήσεων: 3,4,0,6,5,8,1,1,6,1,2,8,9
         Θα διατάξουμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά: 0,1,1,1,2,3,4,5,6,6,8,8,9
         Η μεσαία παρατήρηση είναι η 7η, άρα δ=4.































______________________________________________________________________________
π.χ  Οι μισθοί των υπαλλήλων μιας επιχείρησης σε € είναι : 580, 580, 580, 600, 622, 630, 600,
         1100, 700, 1000, 620. Να βρείτε:
         α) Την μέση τιμή. 
         β) Την διάμεσο. Ποιο μέτρο θέσης είναι δικαιότερο;
                                                                           
         α) Η μέση τιμή είναι 692€.
         β) Η διάμεσος είναι 620€.
            Η μέση τιμή αυξάνεται υπερβολικά από τις αποδοχές των δύο... golden boys που είναι
            διπλάσιες σχεδόν.                             

Στην κανονική κατανομή (δείτε παρακάτω) η διάμεσος συμπίπτει με τη μέση τιμή. (ερώτηση 2, σελ. 131, σχολικού βιβλίου).






___________________________________________________
ΕΥΡΟΣ
Είναι ένα μέτρο διασποράς
1) Το εύρος μιας κατανομής δίνεται από τον τύπο R=Xmax-Xmin.
2) Στην κανονική κατανομή είναι R≈6s(δείτε παρακάτω)
3) Δεν είναι αξιόπιστο μέτρο γιατί βασίζεται μόνο στις ακραίες τιμές.


π.χ. Η βαθμολογία δέκα μαθητών σε ένα διαγώνισμα είναι: 7,11,10,13,15,3,12,11,4,14.
      Το εύρος θα είναι R=15-3=12. Για τους υπόλοιπους βαθμούς δεν γίνεται...κουβέντα!
      Γι' αυτό δεν είναι αξιόπιστο μέτρο.


___________________________________________________
ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ 
Είναι ένα μέτρο διασποράς.
Η διακύμανση ή διασπορά δείχνει την απόκλιση των τιμών από την μέση τιμή, για την ακρίβεια είναι ο μέσος όρος των αποστάσεων των τιμών από την μέση τιμή και την υπολογίζουμε ως εξής:




___________________________________________________
ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
Η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης δίνει την τυπική απόκλιση. s = \sqrt {{s^2}}

___________________________________________________
 ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
1) Όταν η καμπύλη συχνοτήτων έχει "κωδωνοειδή" μορφή τότε μιλάμε για κανονική κατανομή.
2) Στην κανονική κατανομή η διάμεσος συμπίπτει με τη μέση τιμή. (ερώτηση 2, σελ. 131)
3) Στην κανονική κατανομή το εύρος είναι R≈6s.
4) Όταν σε άσκηση υπάρχει η έκφραση "κανονική κατανομή" αμέσως φτιάχνουμε τον άξονα.

Καλό είναι να γνωρίζουμε τον άξονα της κανονικής κατανομής και με την παρακάτω μορφή, γιατί έτσι κερδίζουμε χρόνο και πράξεις.




5) Όταν μας ζητούν "το πολύ x0" αθροίζουμε τα ποσοστά στο διάστημα (0, x0].
6) Όταν μας ζητούν "τουλάχιστον x0" αθροίζουμε τα ποσοστά στο διάστημα (x0,∞).
7) Όταν μας ζητούν "μεταξύ xκαι x2" αθροίζουμε τα ποσοστά στο διάστημα (x1,x2).








__________________________________________________
ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ (τζιζ!!)






 


Προσοχή! Αν οι παρατηρήσεις x1, x2, x3,..,xv  αυξηθούν κατά π.χ. 20% στην πραγματικότητα έχουμε πολλαπλασιασμό με τον ίδιο αριθμό διότι: yi=xi+20%xi=(1+0,2)xi=1,2xi




























___________________________________________________
ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ (C.V.)
Πολλοί είναι αυτοί που δεν καταλαβαίνουν τον συντελεστή μεταβολής.
Ας δούμε ένα παράδειγμα.
Μετράμε το βάρος των μαθητών ενός Λυκείου και βρίσκουμε μέση τιμή π.χ. 60 Kg και τυπική απόκλιση 2 Kg. Κάνουμε το ίδιο και σε έναν Παιδικό Σταθμό. Βρίσκουμε μέση τιμή π.χ. 20 Kg
και τυπική απόκλιση πάλι 2 Kg. Tα 2 Kg για τα...λεβεντόπαιδα του Λυκείου είναι αμελητέα ποσότητα, για τα νήπια όμως;...

Ακόμα ένα παράδειγμα:
Λέγεται ότι στις Ηνωμένες Πολιτείες  οι μισθοί έχουν μεγαλύτερη ομοιογένεια (μικρό CV) από ότι στην Ελλάδα. Πράγματι στις ΗΠΑ οι εργάτες και οι υπάλληλοι έχουν ίδιες απολαβές  (πάνω- κάτω), ενώ στην Ελλάδα έχουμε την γενιά των 600 ευρώ αλλά και τα golden boys με  τους παχ(ο)υλούς μισθούς. Επιπλέον υπάρχει και η διαφορά του νομίσματος που κάνει δύσκολη τη σύγκριση.
CV=\frac{s}{{\bar x}}%
Παρατηρήσεις
1) O συντελεστής μεταβολής εκφράζεται με ποσοστό.
2) Οι ποιοτικές κατανομές δεν έχουν συντελεστή μεταβολής.
3) Ο τύπος CV ισχύει  και όταν η μέση τιμή είναι αρνητική.
4) Ο CV δεν έχει μονάδα μέτρησης (καθαρός αριθμός).
5) Δεν υπάρχει CV αν η μέση τιμή ισούται με το 0.

__________________________________________________
ΟΜΟΙΟΓΕΝΕΙΑ
Ένα δείγμα είναι ομοιογενές όταν ο CV δεν ξεπερνάει το 10%.
1)  Όταν όλες οι παρατηρήσεις αυξηθούν κατά σταθερό ποσό ο CV ελαττώνεται, αφού μεγαλώνει ο παρονομαστής και δεν αλλάζει ο αριθμητής s.

2) Όταν όλες οι παρατηρήσεις πολλαπλασιαστούν με έναν αριθμό c ο CV δεν μεταβάλλεται
   γιατί πολλαπλασιάζονται με το c και οι δύο όροι του κλάσματος.

3) Για να γίνει ένα δείγμα ομοιογενές θα προσθέσουμε στις παρατηρήσεις τον ίδιο αριθμό, 
    (δεν θα πολλαπλασιάσουμε!).

4) Ένα δείγμα Α παρουσιάζει μεγαλύτερη ομοιογένεια από ένα άλλο δείγμα Β, αν έχει μικρότερο 
    CV. 
5) Για θετικές παρατηρήσεις οποιουδήποτε δείγματος κανονικής κατανομής ισχύει CV < \frac{1}{3}, αφού
    υπάρχουν παρατηρήσεις μικρότερες του \bar x - 3s με \bar x - 3s>0.


___________________________________________________________________________
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ 




____________________________________________________
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
O Chevalier de Meré (1607-1684), Γάλλος ευγενής και διάσημος παίκτης τυχερών παιχνιδιών στα μέσα του 17ου αιώνα, στοιχημάτιζε στο ότι θα φέρει τουλάχιστον ένα 6 σε τέσσερις ζαριές με ένα ζάρι και κατά κανόνα κέρδιζε. Μέσα στις προκλήσεις των τζογαδόρων της εποχής σκέφτηκε και έναν άλλο συνδυασμό για να κερδίζει: Nα στοιχηματίσει στο ότι θα φέρει τουλάχιστον δύο εξάρια (6,6) σε 24 ζαριές με δύο ζάρια. Και πίστευε ότι θα είχε την ίδια επιτυχία με την προηγούμενη, γιατί πίστευε ότι ο λόγος 4 προς 6 (ο αριθμός των εδρών του ζαριού) είναι ίσος με το λόγο του 24 προς 36 (ο αριθμός των δυνατών συνδυασμών των εδρών 2 ζαριών). Το κακό είναι ότι στη δεύτερη περίπτωση έχανε. Τότε έσπευσε να συμβουλευτεί τον μεγάλο μαθηματικό Blaise Pascal.(Wikipedia)
Προσπαθώντας ο Pascal να απαντήσει στο ερώτημα γεννήθηκε η θεωρία των πιθανοτήτων. (Από έναν...χαρτοπαίκτη!)

Βασικές έννοιες πάνω στα σύνολα δείτε στη σελίδα Α' Λυκείου Άλγεβρα.  http://colpomath.blogspot.gr/p/blog-page_24.html

Αιτιοκρατικό λέγεται το πείραμα, του οποίου μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα.

Πείραμα τύχης λέγεται αυτό που δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, παρόλο που
                          πραγματοποιείται με τις ίδιες ακριβώς συνθήκες.

Δειγματικός χώρος Ω λέγεται το σύνολο που περιέχει ΟΛΑ τα δυνατά αποτελέσματα.
π.χ. στη ρίψη ενός € είναι Ω={Κ, Γ} (Κουκουβάγια, Γράμματα).
π.χ. στη ρίψη δύο € είναι Ω={ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ}
π.χ. στη ρίψη ζαριού είναι Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}
π.χ. σε οικογένειες με τρία παιδιά είναι Ω={ΑΑΑ, ΑΑΚ, ΑΚΑ, ΑΚΚ, ΚΑΑ, ΚΑΚ, ΚΚΑ, ΚΚΚ}

Ενδεχόμενο είναι ένα υποσύνολο (κομμάτι) του δειγματικού χώρου.
π.χ. το ενδεχόμενο στη ρίψη ζαριού να φανεί άρτιο αποτέλεσμα είναι  Α={2, 4, 6}. Αυτοί οι αριθμοί  
      λέγονται ευνοϊκές περιπτώσεις.
       Αν η ένδειξη είναι 4, τότε λέμε ότι το ενδεχόμενο Α πραγματοποιήθηκε.
π.χ. το ενδεχόμενο να έλθει η ένδειξη Α={1, 2, 3, 4, 5, 6} πραγματοποιείται πάντοτε, γι' αυτό λέγεται  
      βέβαιο ενδεχόμενο. Τότε Α=Ω.
π.χ. στη ρίψη ζαριού το ενδεχόμενο Β={-7} δεν πραγματοποιείται ποτέ, γι' αυτό λέγεται αδύνατο  
       ενδεχόμενο. Τότε Α=Ø.
π.χ. Παίζουμε "σύστημα" στη ρίψη ζαριού. Ποντάρουμε στα ενδεχόμενα Α={2, 4, 6} και Β={1, 2, 3}.   
       1) Θα κερδίσουμε είτε πραγματοποιηθεί είτε το Α είτε το Β. Δηλαδή το ΑΘΒ={1, 2, 3, 4, 6}.
       2) Αν θέλουμε να πραγματοποιηθεί και το Α και το Β, θα κερδίσουμε με το ΑΒ={2}.
       3) Αν θέλουμε να πραγματοποιηθεί μόνο το Α, θα κερδίσουμε με το Α-Β={4, 6}.
       4) Αν θέλουμε να μην πραγματοποιηθεί το Α, θα κερδίσουμε με το Α'={1, 3, 5}.
       5) Αν θέλουμε να πραγματοποιηθεί μόνο το Α ή μόνο το Β, θα κερδίσουμε με το 
           (Α-Β)Θ(Β-Α)={1, 3, 4, 6}. (Όχι το 2, γιατί πραγματοποιούνται και τα δύο).
       6) Αν θέλουμε να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α ή Β, θα κερδίσουμε με 
           το (ΑΘΒ)'={5}.

π.χ. Παίζουμε "σύστημα" στη ρίψη ζαριού. Ποντάρουμε στην πραγματοποίηση και των δύο  
      ενδεχομένων Α={2, 4} και Β={1, 3} ταυτόχρονα. Άμα κερδίσετε ποτέ να ...μου γράψετε!!
      Τα ενδεχόμενα αυτά λέγονται ασυμβίβαστα. Τότε ΑΒ=Ø (κενό) 
      
Α. Ο κλασσικός ορισμός της πιθανότητας εφαρμόζεται μόνο σε ισοπίθανα ενδεχόμενα.

Β. Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το Α ή το Β είναι:
     P(AUB)=P(A)+P(B) αν Α, Β είναι ασυμβίβαστα ή
     P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B) αν Α, Β όχι ασυμβίβαστα .

Γ. Για αντίθετα ενδεχόμενα ισχύει Ρ(Α)+Ρ(Α')=1

Δ. Η πιθανότητα να πραγματοποιηθούν τα Α και Β είναι Ρ(Α∩Β)

Ε. Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο το Α είναι Ρ(Α-Β)=Ρ(Α)-Ρ(Α∩Β)

ΣΤ. Η πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β είναι P(AUB)'

Ζ. Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α και Β είναι P[(A-B)U(B-A)]

H. Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα Α και Β είναι Ρ(Α∩Β)'

Θ. Προσοχή στις παρακάτω σχέσεις!! 
     (Α-Β) U (Α∩Β)=Α
     (Β-Α) U (Α∩Β)=Β
     (Α-Β) U (Α∩Β) U (Β-Α)=ΑUΒ






Ι. Για να αποδείξουμε ότι δύο ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα:
    α) αποδεικνύουμε ότι Α∩Β=Ø ή
    β) υποθέτουμε ότι δεν είναι ασυμβίβαστα και αποδεικνύουμε ότι P(AUB)>1, και... άτοπο !

____________________________________________________________________________
π.χ. Αν Ρ(Α')=0,28 και Ρ(Β')=0,71, είναι τα Α και Β ασυμβίβαστα;
         Έχουμε: Ρ(Α)=1-Ρ(Α')=0,72
                       Ρ(Β)=1-Ρ(Β')=0,29
         Έστω ότι είναι ασυμβίβαστα. Τότε P(AUB)=P(A)+P(B) (απλός προσθετικός νόμος)
         Άρα P(AUB)=P(A)+P(B)=0,72+0,29=1,01>1. Άρα όχι ασυμβίβαστα.

____________________________________________________________________________
π.χ. Αν Ρ(Α)=0,4, 2Ρ(Β)=Ρ(Α) και Ρ((Α-Β)U(Β-Α))=0,2 είναι τα Α και Β ασυμβίβαστα;
         Γνωρίζουμε ότι (Α-Β)U(Β-Α)U(Α∩Β)=AUB. Άρα
         Ρ(Α-Β)+Ρ(Β-Α)+Ρ(Α∩Β)=Ρ(A)+Ρ(B)-Ρ(Α∩Β).
         0,2+Ρ(Α∩Β)=0,4+0,2-Ρ(Α∩Β) και τελικά Ρ(Α∩Β)=0,2≠0. Όχι ασυμβίβαστα.

___________________________________________________
Κ. Ανισότητες με πιθανότητες 
     (πρέπει να αποδειχθούν για να εφαρμοστούν)




_____________________________________________________________
Προσέξτε την παρακάτω μεθοδολογία.

π.χ. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύουν Ρ(Α)=0,5 και Ρ(Β)=0,3. Να δείξετε
         ότι αν Ρ(ΑΒ)<0,2 τότε Ρ(ΑUΒ)>0,6

Colpomath!
1) Αναζητούμε σχέση που συνδέει τις δύο ποσότητες.
    Ρ(ΑUΒ)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(ΑΒ)
2) Απομονώνουμε την γνωστή ποσότητα:
    Ρ(ΑΒ)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(ΑUΒ)
3) Αντικαθιστούμε στη σχέση το γνωστό.
    Επειδή  Ρ(ΑΒ)<0,2 τότε και Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(ΑUΒ)<0,2
    0,5+0,3-0,2< Ρ(ΑUΒ)
    0,6< Ρ(ΑUΒ).

_______________________________________________________________________________
π.χ. Αν Α ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου Ω και |Ρ(Α)+5|-|Ρ(Α)-2|=λ+4 (1), να δείξετε ότι |λ|≤1.
         Επειδή Ρ(Α) θετικός αριθμός η (1) γίνεται: Ρ(Α)+5-[-Ρ(Α)+2]=λ+4
         2Ρ(Α)+3=λ+4.
         Απομονώνουμε το Ρ(Α). Άρα Ρ(Α)=\frac{{\lambda  + 1}}{2}
         Επειδή 0≤Ρ(Α)≤1 έχουμε:
         0≤ \frac{{\lambda  + 1}}{2} ≤1
         -1≤λ≤1
             |λ|≤1.

_______________________________________________________________________________
π.χ. Μία ομάδα ασκήσεων μοιάζει με την παρακάτω:
        Από τους μαθητές ενός σχολείου το 80% μαθαίνει αγγλικά, το 30% γαλλικά και το 20% και τις 
       δύο γλώσσες. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή. Να βρείτε την πιθανότητα να μη μαθαίνει καμία 
       από τις δύο γλώσσες.
       Μπορούμε να λύσουμε την άσκηση και γραφικά όπως φαίνεται στο σχήμα:


Η πιθανότητα να μη μαθαίνει καμία γλώσσα είναι:
P(AUB)'=1-P(AUB)=1-(60%+20%+10%)=10%



___________________________________________________________________________
π.χ.  Ενδιαφέρον παρουσιάζει ο υπολογισμός της πιθανότητας Ρ(Α'UB)
          Έχουμε Ρ(Α'UB)=P(A')+P(B)-P(A'B)
                                     =1-P(A)+P(B)-[P(B)-P(AB)]=
                                     =1-P(A)+P(A∩B). Ο όρος Ρ(Β) απαλείφεται!!

_____________________________________________________________________________

π.χ. Μια χρήσιμη σχέση: Α'-Β'=Β-Α





























_________________________________________________________________________

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ
Κεφάλαιο 3ο (Σελίδα 175)
1. έχουμε τις περιπτώσεις ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ
2. Χρειάζονται περισσότερες δοκιμές
4. γ (1-0,4)
5. β (Από τον προσθετικό νόμο)
6. δ (Το δεξιό "φεγγαράκι")
8. Σ (Ότι ανήκει στο Α, δεν ανήκει στο Α')
9. Λ (π.χ. Α={1,2,3} και Β={4,5})
10. Λ (Αν Ω=1,2,3,4,5}, Α={1,2} και Β={4,5} τότε Α'={3,4,5}, Β'={1,2,3}, όχι ξένα)
16. Όχι, διότι Ρ(Α)+Ρ(Β)=Ρ(ΑUΒ)+1,3>1.
17. i) (AUB)'    ii) (A-B)U(B-A)    iii) (B-A)'     iv) ((A-B)U(B-A))'