Β Λυκείου ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
Από το ρήμα "διανύω" που εκφράζει κίνηση.
Διάνυσμα είναι ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα.
Διάνυσμα ΑΒ σημαίνει, πηγαίνω από το Α στο Β. Διάνυσμα ΒΑ σημαίνει, πηγαίνω από το Β στο Α.
Ένα διάνυσμα είναι γνωστό αν ξέρουμε τη διεύθυνση, τη φορά και το μέτρο του (μήκος).
Η διεύθυνση και η φορά αποτελούν την κατεύθυνση του διανύσματος.
Ένα διάνυσμα μεταφέρεται σε άλλη θέση μένοντας παράλληλο στον εαυτό του. (Δεν το περιστρέφουμε γιατί αλλάζει η διεύθυνσή του, άρα είναι άλλο διάνυσμα).



_________________
ΙΣΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
Δύο διανύσματα είναι ίσα αν έχουν ίδιο μέτρο και ίδια κατεύθυνση. (σαν ευθύγραμμα τμήματα
 είναι ίσα και παράλληλα).
π.χ. Οι απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου είναι ίσα διανύσματα.
       Οι ίσες πλευρές ισοσκελούς τριγώνου ΔΕΝ είναι ίσα διανύσματα. (αφού σχηματίζουν γωνία).

__________________________
ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
Για να λύσουμε μια άσκηση με διανύσματα υπάρχουν δύο βασικές μέθοδοι.
Α) Η μέθοδος των διαδρομών
Χρησιμοποιείται:
α) Συνήθως σε ασκήσεις που αναφέρονται σε σχήμα.
β) Για να εκφράσουμε ένα διάνυσμα συναρτήσει άλλων διανυσμάτων.



Β. Η μέθοδος του σημείου αναφοράς.
Σημείο αναφοράς είναι η αρχή όλων των διανυσμάτων.
Χρησιμοποιείται:
α) Για να αποδείξουμε μία διανυσματική ισότητα.



β) Για να βρούμε τη θέση ενός σημείου.




 γ) Για να δείξουμε ότι δύο σημεία συμπίπτουν.



________________
ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΑ ΣΗΜΕΙΑ









_____________________________________________
ΜΕΤΡΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

     





______________________________
ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
Δύο διανύσματα είναι παράλληλα αν:
α) βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία (φορέα) ή σε παράλληλες ευθείες.
β) Αν υπάρχει αριθμός λ ώστε: \vec \alpha  = \lambda \vec \beta .
     Αν λ>0 θα είναι ομόρροπα
     Αν λ<0 θα είναι αντίρροπα.




















_____________________________
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ






____________________________________________________
ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
Διανύσματα σε άξονα




____________________________________________________
ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ




__________________________________________________
ΙΣΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ



___________________________________________________
ΜΕΤΡΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ


__________________________________________________
ΟΜΟΡΡΟΠΑ- ΑΝΤΙΡΡΟΠΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ




__________________________________________________
ΟΡΙΖΟΥΣΑ 2x2




___________________________________________________
ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ  ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ  ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
Για να βρούμε την πορεία ενός κινητού π.χ. αεροπλάνου, πλοίου χρειαζόμαστε ένα 
σταθερό σημείο  σαν αρχή μέτρησης. Το σημείο αυτό είναι ο βορράς που μας δείχνουν 
οι πυξίδες. Στα διανύσματα το σημείο αυτό βρίσκεται δεξιά, στον θετικό ημιάξονα Οx.


Το διάνυσμα της παραπάνω εικόνας σχηματίζει μία γωνία ω που έχει πλευρές την Οx και το ΟΑ. Η εφαπτομένη της γωνίας ω είναι ο συντελεστής διεύθυνσης λ του διανύσματος. Δηλαδή. λ=εφω
(Όλες οι γωνίες θα έχουν πλευρά τους την Οx. Η άλλη πλευρά θα είναι ο φορέας του διανύσματος).





___________________________________________________
ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ
Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι αριθμός.  (Γίνεται...μετάλλαξη)
Υπάρχουν τρεις "μορφές" του εσωτερικού γινομένου:
_____________
α) Ορισμός.




___________________________________________________
ΑΛΛΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ
α) Αν το εσωτερικό γινόμενο είναι θετικός αριθμός, η γωνία των διανυσμάτων είναι οξεία.
β) Αν το εσωτερικό γινόμενο είναι αρνητικός αριθμός, η γωνία των διανυσμάτων είναι αμβλεία.
γ) Αν το εσωτερικό γινόμενο είναι 0, η γωνία των διανυσμάτων είναι ορθή.
δ) Δεν ισχύει ο νόμος της διαγραφής.
ε) Δεν ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα γενικώς.


__________________________________________________
β) Η αναλυτική έκφραση.
    \vec \alpha  \cdot \vec \beta =x1x2+y1yπου χρησιμοποιείται όταν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των δύο διανυσμάτων.

Με το εσωτερικό γινόμενο μπορούμε:
Να βρούμε το μέτρο ενός διανύσματος





Να βρούμε την γωνία δύο διανυσμάτων.





Να αποδείξουμε μία διανυσματική ισότητα.




Να αποδείξουμε ασκήσεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.











__________________________________________________
γ) Η προβολή διανύσματος σε διάνυσμα.








____________________________________________________________________________
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ (Στα διανύσματα)







___________________________________________________
ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

Η εξίσωση της ευθείας είναι μια έννοια γνωστή από το Γυμνάσιο, με την μορφή y=λx ή y=λx+β.
Ο συντελεστή διεύθυνσης λ είναι ο αριθμός που καθορίζει την διεύθυνση της ευθείας, (κάτι 
σαν την πυξίδα), με τον βορρά να βρίσκεται στον θετικό ημιάξονα Οx (δεξιά).

Όταν αλλάζει ο συντελεστής διεύθυνσης η ευθεία περιστρέφεται γύρω από το β.

Υπόψη: λ=εφω, όπου ω η γωνία που σχηματίζει η ευθεία με τον θετικό ημιάξονα Οx.

Στο παρακάτω σχήμα βλέπετε την γραφική παράσταση της y=λx+1 για διάφορες τιμές του λ.











Ο αριθμός β καθορίζει τη θέση του σημείου Α(0,β) που η ευθεία τέμνει τον άξονα y'y.
Όταν αλλάζει το β η ευθεία μετακινείται παράλληλα (πάνω- κάτω)
Στο παρακάτω σχήμα βλέπετε την γραφική παράσταση της y=2x+β για διάφορες τιμές του β.







1) Για να βρούμε την εξίσωση μιας ευθεία πρέπει να γνωρίζουμε ένα σημείο της και τον   
      συντελεστή  διεύθυνσης λ.
 π.χ. Αν γνωρίζουμε ότι διέρχεται από το Α(-2,3) και έχει συντελεστή  διεύθυνσης 4 
       τότε ε: y-3=4(x+2)

2) O συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας είναι ο συντελεστής του εφόσον η εξίσωση της  
     ευθείας είναι λυμένη ως προς y. 
π.χ. η ευθεία 2x+y=5 έχει  συντελεστή διεύθυνσης λ=-2.

3) Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης, δηλ. λ12          
 π.χ.  Οι ευθείες y=2x+1821 και 2x+y=1940 είναι παράλληλες; Δεν νομίζω!

4) Δύο ευθείες είναι κάθετες αν λ1λ2=-1. Το λ1 είναι το αντιθετοαντίστροφο του λ2.
π.χ. Οι ευθείες y=2x+1821 και y=-\frac{1}{2}x+1453 είναι κάθετες;  Σίγουρα ναι!

5) Ένα σημείο βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία αν οι συντεταγμένες του επαληθεύουν τον τύπο  

     της ευθείας.
π.χ. Το σημείο Α(-2, 3) βρίσκεται πάνω στην ευθεία y=-4x-5, ενώ το Β(1,2) δεν βρίσκεται.

6) Ένα σημείο βρίσκεται, συνήθως, από την λύση του συστήματος των ευθειών στις οποίες  
     ανήκει.
π.χ. Ποιο είναι το σημείο τομής των ευθειών: y=2x+1 και y=-x+4;
       Λύνουμε το σύστημα με τη μέθοδο της σύγκρισης (ξεχασμένη μέθοδος)
       Τα πρώτα μέλη είναι ίσα, άρα και τα δεύτερα. 2x+1=-x+4
                                                                                     3x=3
                                                                                       x=1 άρα y=3 και το σημείο Α(1, 3)

7) Colpomath: Όταν ένα σημείο βρίσκεται σε γνωστή ευθεία π.χ. y=-7x+2 το "βαφτίζουμε" όχι   
                        Μ(x,y) αλλά Μ(x,-7x+2)Έτσι έχουμε έναν άγνωστο λιγότερο.

8) Colpomath:Όταν μας ζητούν την εξίσωση μίας ευθείας που διέρχεται από σταθερό σημείο π.χ.  Α(2,3) την "βαφτίζουμε"  ε: y-3=λ(x-2) και x=2 !! Θα πρέπει στην συνέχεια να βρούμε το λ.


9) Colpomath: Όταν μας ζητούν την εξίσωση μίας ευθείας που έχει γνωστό συντελεστή                                         διεύθυνσης π.χ. λ=3 την "βαφτίζουμε" ε: y=3x+β. Τώρα ο άγνωστος είναι το β.
    
    Δεν ξεχνάμε: Αυτό που ζητάμε...το βαφτίζουμε!!

___________________________________________________
Η ΕΞΙΣΩΣΗ Αx+By+Γ=0
Στην εξίσωση αυτή δεν πρέπει τα Α και Β να μηδενίζονται συγχρόνως. Τί... ευθεία είναι αυτή με εξίσωση 0x+0y+3=0 !!   

1) Αν την λύσουμε ως προς y η εξίσωση παίρνει τη μορφή y=λx+β.

2) Αν Α=0 η εξίσωση παίρνει τη μορφή y=y0. (έχει συντελεστή διεύθυνσης 0).
π.χ. Η y=2 είναι μία οριζόντια ευθεία.

3) Aν Β=0 η εξίσωση παίρνει τη μορφή x=x0
π.χ. Η x=-3 είναι μια κατακόρυφη ευθεία. (δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης).

Υπόψη: Από το σημείο π.χ. Α(3,2) διέρχεται η οριζόντια ευθεία y=2 και η κατακόρυφη x=3.














4) Αν Γ=0 η εξίσωση παίρνει τη μορφή yx
π.χ. Η y=2x είναι μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.







_________________________________________________
ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ
Για να βρούμε τη σχετική θέση δύο ευθειών προτιμάμε τη μέθοδο των οριζουσών.







___________________________________________________
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ
Γεωμετρικός τόπος λέγεται ένα σύνολο σημείων που έχουν την ίδια ιδιότητα.π.χ. Ο κύκλος, 
η διχοτόμος, η μεσοκάθετος τμήματος κ.λ.π.
Ένας γεωμετρικός τόπος έχει εξίσωση με μεταβλητές τα x και y. Άρα θα εισάγουμε τα x και y και θα απαλείψουμε την παράμετρο λ.


π.χ. Να βρείτε τον γ.τ. των σημείων Μ(λ+1, 3-2λ) , λЄR
         Θέτουμε x=λ+1 και
                        y=3-2λ. Απαλείφουμε το λ με την μέθοδο των αντίθετων συντελεστών.
        2x=2λ+2
        y=3-2λ και με πρόσθεση βρίσκουμε την ευθεία 2x+y=5


___________________________________________________
ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ (ΔΕΣΜΗ) ΕΥΘΕΙΩΝ
π.χ.  Δίνεται η εξίσωση (ε): (x-2y+5)+λ(3x+2y+7)=0. 
        α) Να δείξετε ότι η (επαριστάνει ευθεία για τις διάφορες τιμές του λ.
        βΝα δείξετε ότι η (επαριστάνει μία δέσμη ευθειών
        γ) Για ποια τιμή του λ είναι "οριζόντια" ευθεία;
        δΓια ποια τιμή του λ είναι "κατακόρυφη" ευθεία;
        εΓια ποια τιμή του λ διέρχεται από την αρχή των αξόνων;
      στΓια ποια τιμή του λ είναι παράλληλη στην ευθεία (η): y=-1/2x+2014 ;

        α) Για να δείξουμε ότι η (ε) παριστάνει ευθεία την φέρνουμε στη μορφή Αx+Βy+Γ=0.
           Έχουμε: (3λ+1)x+(2λ-2)y+7λ+5=0. Επειδή οι συντελεστές των x, y δεν μηδενίζονται με την   
           ίδια τιμή του λ πράγματι η (ε) είναι ευθεία για κάθε λЄR.
       βΑπό τις άπειρες ευθείες που ορίζονται από την (ε) επιλέγουμε δύο.
          π.χ. για λ=0 βρίσκουμε  x-2y+5=0  (1)
                 για λ=1  βρίσκουμε  4x+12=0  (2)
         Λύνουμε το σύστημα των (1) και (2) και βρίσκουμε x=-3 και y=1. Δηλαδή Κ(-3, 1).
         Επειδή η (ε) επαληθεύεται από τις συντεταγμένες του Κ, σημαίνει ότι ΟΛΕΣ οι ευθείες  
         διέρχονται από αυτό.
      γ) Η (ε) είναι οριζόντια, αν έχει την μορφή y=y0. (να μην έχει το x). Γι' αυτό πρέπει 3λ+1=0, άρα   
          λ=-1/3.
      δΗ (ε) είναι κατακόρυφη, αν έχει την μορφή x=x0. (να μην έχει το y). Γι' αυτό πρέπει 2λ-2=0,   
          άρα λ=1.
     ε) Η (ε) διέρχεται από την αρχή των αξόνων αν οι συντεταγμένες του Ο(0,0) την επαληθεύουν.   
         Δηλαδή (3λ+1)0+(2λ-2)0+7λ+5=0. Άρα λ=-5/7.
   στ) Η (ε) είναι παράλληλη στην (η) αν έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης. Δηλαδή λε=λη.







__________________________________________________
ΓΩΝΙΑ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ
Αφού κάθε ευθεία Αx+By+Γ=0 συνοδεύεται από ένα παράλληλο διάνυσμα δ=(Β,-Α), η γωνία 
δύο ευθειών θα είναι η γωνία των παράλληλων διανυσμάτων τους (γνωστή από το εσωτερικό  
γινόμενο).







__________________________________________________
ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ









_____________________________________________________
ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ





_____________________________________________________
ΜΕΣΟΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ






__________________________________________________
ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ






























___________________________________________________
ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ


















_________________________________________________
ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ...ΔΥΟ ΣΕ ΕΝΑ
































___________________________________________________________________________
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ (Στην ευθεία)












____________________________________________________
ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ
Οι κωνικές τομές είναι τομές ενός επιπέδου με δύο "κατακορυφήν" κώνους.
Γεωμετρικός τόπος λέγεται ένα σύνολο σημείων που έχουν την ίδια ιδιότητα. π.χ. o κύκλος, η διχοτόμος γωνίας, η μεσοκάθετος τμήματος κ.λ.π. 

___________________________________________________
ΚΥΚΛΟΣ
...είναι ένα στρογγυλό πράγμα. Όχι!
Κύκλος (Ο,ρ) είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που απέχουν απόσταση ρ από το κέντρο Ο.

Στο βιβλίο των μαθηματικών κατεύθυνσης αναφέρονται "δύο ειδών" κύκλοι.
Αυτός με κέντρο το Ο(0,0) και αυτός με κέντρο ένα σημείο Κ(x0,y0).


ΧΡΗΣΙΜΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (τζιζ !!)
1) Η ακτίνα είναι κάθετη στην εφαπτομένη στο σημείο επαφής.
2) Το κέντρο Κ του κύκλου απέχει από την εφαπτομένη (ε) όσο η ακτίνα, δηλαδή ρ=d(K,ε).
3) Το απόστημα είναι κάθετο στη χορδή στο μέσον της.
4) Η μεσοκάθετος μιας χορδής διέρχεται από το κέντρο.
5) Το σημείο τομής των μεσοκάθετων δύο χορδών είναι το κέντρο του κύκλου.

Α. 1) Ο κύκλος με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση x2+y22
         (τα x, y είναι οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου του κύκλου και το ρ είναι η ακτίνα του).
        Όταν ξέρουμε το ρ ξέρουμε και τον κύκλο.
    
    2)  Έχει παραμετρικές εξισώσεις x=ρσυνφ και y=ρημφ.
  
π.χ. Να βρείτε τον γ.τ. των σημείων Μ(2συνθ, 2ημθ) , 0λ<2π.
         Θέτουμε x=2συνθ και
                        y=2ημθ. Απαλείφουμε το θ με βάση την ταυτότητα  ημ2θ+συν2θ=1.
        x2=4συν2θ και
        y2=4ημ2θ, και με πρόσθεση κατά μέλη βρίσκουμε τον κύκλο x2+y2=4. 

    3)  Έχει εφαπτομένη στο τυχαίο σημείο Μ(x1,y1) του κύκλου την ευθεία ε: x1x+y1y2

π.χ. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ο κύκλος με εξίσωση x2+y2=52 καθώς και οι εφαπτόμενες  
      στα αντίστοιχα σημεία.






Στο Μ(3,4) η εφαπτομένη είναι 3x+4y=25
Στο A(5,0) η εφαπτομένη είναι 5x+0y=25, x=5
κ.λ.π.













4) Όταν γνωρίζουμε το σημείο επαφής, η εφαπτόμενη βρίσκεται εύκολα.
      Η εφαπτομένη...απ' την ανάποδη είναι το δύσκολο!

π.χ. Να βρείτε την εφαπτόμενη του κύκλου x2+y2=5 η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία η: y=2x+3.

       Ξεκινάμε πάντα από το σημείο επαφής.
       Έστω Μ(x1,y1) το σημείο επαφής. Έχουμε δύο αγνώστους, άρα θέλουμε δύο εξισώσεις.
       α) Το Μ είναι σημείο του κύκλου. Άρα x12+y12=5 (1)
       β) Η εφαπτομένη στο Μ έχει εξίσωση ε: x1x+y1y=5 με συντελεστή διεύθυνσης λ=-x1/y1.
             Επειδή ε//η πρέπει -x1/y1=2 (2)
          Από τη λύση του συστήματος βρίσκουμε τα x1yκ.λ.π.




























Β. Ο κύκλος με κέντρο το Κ(x0,y0) έχει εξίσωση (x-x0)2+(y-y0)22    (i)
     (τα x, y είναι οι συντεταγμένες ενός τυχαίου σημείου του κύκλου, τα  x0, y0 είναι οι 
      συντεταγμένες του κέντρου και το ρ είναι η ακτίνα του).
      Όταν ξέρουμε το ρ και τα x0, y0 ξέρουμε και τον κύκλο.


   





 















Γ. Αν αναπτύξουμε τις ταυτότητες η παραπάνω εξίσωση (i) παίρνει τη μορφή x2+y2+Ax+By+Γ=0. 
    Στην περίπτωση αυτή το κέντρο Κ και οι ακτίνα ρ δίνονται από τους τύπους:
 
Να τα μάθετε απέξω!!  
 
 

(Τα x2y2 δεν πρέπει να έχουν συντελεστές διαφορετικούς από το 1, αλλιώς κάνουμε 
   απλοποιήσεις).

______________________________________________________________________________  
π.χ. Η εξίσωση  3x2+3y2+6x-12y+3=0 πρέπει υποχρεωτικά να γίνει x2+y2+2x-4y+1=0. 

______________________________________________________________________________  
π.χ. Η εξίσωση x2+y2+2x-4y-k2=0 παριστάνει πάντοτε κύκλο. Σωστό ή Λάθος;
       Για να παριστάνει κύκλο πρέπει Α22-4Γ>0.
       Έχουμε: Α22-4Γ=4+16-4(-k2)=20+k2>0, άρα Σωστό.

_______________________________________________________________________________
π.χ.Να δείξετε ότι η εξίσωση (x-1)(x-3)+(y-2)(y-8)=0  παριστάνει κύκλο με διάμετρο ΑΒ με Α(1,2)   
      και Β(3,8).
     α) Αν κάνουμε τις πράξεις θα βρούμε x2+y2-4x-10y+19=0 (1που παριστάνει κύκλο με διάμετρο το Κ(2,5).
     β) Οι συντεταγμένες των σημείων Α και Β επαληθεύουν την εξίσωση (1), άρα είναι σημεία του   
         κύκλου.
     γ) Το μέσον του ΑΒ έχει συντεταγμένες xM=2 και yM=5, που συμπίπτουν με το κέντρο του   
         κύκλου. Άρα η ΑΒ είναι διάμετρος


______________________________________________________________________________

Η εφαπτομένη του κύκλου (x-x0)2+(y-y0)22 στο 
σημείο (Μ(x1,y1) δίνεται από τον τύπο:
ε:(x1-x0)(x-x0)+(y1-y0)(y-y0)(Δεν το γράφει το βιβλίο)

Για να βρούμε την εφαπτομένη κύκλου που έχει κέντρο διαφορετικό του Ο(0,0)  εργαζόμαστε με όσα γνωρίζουμε 
από την θεωρία της ευθείας γραμμής.



_______________________________________________________________________________
π.χ. Έστω ο κύκλος (x-2)2+(y-3)2=25. Να βρείτε την εφαπτομένη στο Α(5,-1). (Δείτε το παραπάνω    
       σχήμα)
        Η εφαπτομένη στο Α είναι κάθετη στην ακτίνα ΚΑ.  Άρα λΚΑλε=-1
        Επειδή λΚΑ=-4/3 το λε θα είναι το αντιθετοαντίστροφο του λΚΑ δηλ. 3/4.
        Άρα ε: (y+1)=3/4(x-5) και τελικά ε: 3x-4y-19=0.

________________________________________________________________
π.χ. Έστω ο κύκλος (x-2)2+(y-3)2=16. Να βρείτε την εφαπτομένη στο Α(2,-1).
       Η εφαπτομένη στο Α είναι κάθετη στην ακτίνα ΚΑ.  Άρα λΚΑλε=-1
        Επειδή το λΚΑ δεν ορίζεται σημαίνει ότι η ΚΑ είναι η κατακόρυφη x=2
        άρα λε =0 και επομένως η εφαπτομένη θα είναι η οριζόντια ε: y=-1.


__________________________________
Σχετική θέση  δύο κύκλων.
Έστω ρ1 και ρείναι οι ακτίνες δύο κύκλων και δ είναι η διάκεντρος τότε:
    α) Αν δ>ρ+ ρο ένας κύκλος είναι στο εξωτερικό του άλλου.
    β) Αν δ=ρ+ ροι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά.
    γ) Αν ρ- ρ2 <δ<ρ+ ρ οι κύκλοι τέμνονται.
    δ) Αν δ=ρ- ρ2 οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά.
    ε) Αν δ<ρ- ρ2  ο ένας κύκλος είναι μέσα στον άλλον.
(Να θυμάστε: Αν ο ένας κύκλος βρίσκεται έξω από τον άλλον συγκρίνουμε το δ με το ρ+ ρ2,
   ενώ αν ο ένας κύκλος βρίσκεται μέσα στον άλλον συγκρίνουμε το δ με το ρ- ρ2).


_____________________________________________________

ΠΑΡΑΒΟΛΗ
Είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μία ευθεία (διευθετούσα) και ένα σημείο (εστία).
Επειδή οι γ.τ. έχουν μεταβλητές x και y "φυτεύουμε" την ευθεία και το σημείο σε σύστημα συντεταγμένων Οxy.

___________________
ΠΑΡΑΒΟΛΗ  ΔΕΞΙΑ- ΑΡΙΣΤΕΡΑ
Α) Αν η εστία βρίσκεται στον x'x η παραβολή έχει εξίσωση y2=2px και θα βρίσκεται δεξιά του  
      Ο(0,0) αν p>0, ή αριστερά του Ο(0,0) αν p<0. 
  1) To p λέγεται παράμετρος και το |pεκφράζει την απόσταση της εστίας από την διευθετούσα.
      Μία παραβολή είναι γνωστή, αν γνωρίζουμε το p.

  2) Η εστία έχει συντεταγμένες Ε(p/2,0) και η διευθετούσα εξίσωση δ: x=-p/2.

  3) Η εφαπτομένη της σε σημείο Α(x1,y1) έχει τη μορφή  y1y=p(x+x1). 

 4) Η απόσταση ενός τυχαίου σημείου Α(x1,y1)  από την εστία εξαρτάται μόνο από το x1.













_________________
ΠΑΡΑΒΟΛΗ   ΠΑΝΩ-ΚΑΤΩ
Β)  Αν η εστία βρίσκεται στον y'y  η παραβολή έχει εξίσωση x2=2py και θα βρίσκεται πάνω από το 
      Ο(0,0) αν p>0, ή κάτω από το Ο(0,0) αν p<0. 

  1) Η εστία έχει συντεταγμένες Ε(0,p/2) και η διευθετούσα εξίσωση δ: y=-p/2.

  2) Η εφαπτομένη της σε σημείο Α(x1,y1)  έχει τη μορφή x1x=p(y+y1). 























__________________
ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ
____________________________________________________________________________
π.χ. Δίνεται η παραβολή y2=8x. Να βρείτε την εφαπτομένη της στο σημείο Μ(2,4),
       Επειδή η παραβολή είναι της μορφής y2=2px με p=4, η εφαπτομένη θα είναι:
       ε: y1y=p(x+x1)
       ε: 4y=4(x+2) ή y=x+2.

___________________________________________________________________________
π.χ. Δίνεται η παραβολή x2=8y. Να βρείτε την εφαπτομένη της στο σημείο Μ(4,2),
       Επειδή η παραβολή είναι της μορφής x2=2py με p=4, η εφαπτομένη θα είναι:
       ε: x1x=p(y+y1)
       ε: 4x=4(y+2) ή y=x-2.

__________________________________________________________________________
 Όταν γνωρίζουμε το σημείο επαφής, η εφαπτόμενη βρίσκεται εύκολα.
 Η εφαπτόμενη...απ' την ανάποδη είναι το δύσκολο!
π.χ. Να βρείτε την εφαπτόμενη της παραβολής y2=8x, η οποία διέρχεται από το σημείο Α(5,7).
       Ξεκινάμε πάντα από το σημείο επαφής.
       Έστω Μ(x1,y1) το σημείο επαφής. Έχουμε δύο αγνώστους, άρα θέλουμε δύο εξισώσεις.
       α) Το Μ είναι σημείο της παραβολής . Άρα y12=8x1 (1), p=4.
       β) Η εφαπτομένη στο Μ έχει εξίσωση ε: y1y=p(x+x1).
             Επειδή το σημείο Α(5,7) ανήκει στην εφαπτομένη, οι συντεταγμένες του πρέπει να την
         επαληθεύουν, δηλαδή  7y1=20+4x1 (2)
        (Προσοχή! Αντικαθιστούμε στα x, y και όχι στα x1,y1)
          Από τη λύση του συστήματος των (1) και (2) βρίσκουμε τα x1=25/2 ή x1=2  κ.λ.π. (Υπάρχουν
        δύο εφαπτόμενες που διέρχονται από το Α).


____________________
ΒΑΣΙΚΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ
Πολλές ασκήσεις αναφέρονται στον ρόμβο ΑΒΝΕ του σχήματος που ακολουθεί.
Προσοχή στις συντεταγμένες και τη θέση των κορυφών του παραλληλογράμμου.

π.χ. Δίνεται η παραβολή y2=8x και το σημείο της Α(x1,y1).





Το Α είναι σημείο της παραβολής.
Το Β είναι σημείο της διευθετούσας και
      συμμετρικό του Ε ως προς το Κ.
Το Κ είναι σημείο του y'y.
Το Ν είναι συμμετρικό του Α ως προς το Κ.
 Το Ε είναι η εστία.







































































____________________________________________________
ΕΛΛΕΙΨΗ
Είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x,y) των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων
 από τα σημεία Ε'(-γ,0) και Ε(γ,0) είναι σταθερή και ίση με 2α.
Στοιχεία της έλλειψης:
1)  Σε κάθε περίπτωση α>γ και α>β. 
2) Α'Α=2α είναι ο μεγάλος άξονας.
3) Β'Β=2β είναι ο μικρός άξονας.

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

























































___________________________________________________________________________
π.χ. Να βρείτε τον γ.τ. των σημείων Λ(x,y) για τα οποία ισχύει |(-4x,6y)|=12.

       Πρέπει \sqrt {{{( - 4x)}^2} + {{(6y)}^2}}  = 12
                 ή 16x2+36y2=144 και τελικά \frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1

____________________________________________________________________________
Στις εξετάσεις...φοριούνται πολύ οι συνδυαστικές ασκήσεις. Πάρτε μια ιδέα!
π.χ.  Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης με μεγάλο άξονα Α'A τα σημεία που ο κύκλος 
        x2+y2=25 τέμνει τον x'x και μία εστία, την εστία της παραβολής y2=12x.

       1) Ο κύκλος τέμνει τον x'x στα σημεία Α(5,0) και Α'(-5,0). Άρα η έλλειψη έχει α=5.
       2) Η παραβολή έχει p=6, άρα η εστία της είναι Ε(3,0), που είναι εστία και της έλλειψης.  
            Άρα γ=3.
       3) α222 άρα β2=52-32=25-9=16
           Επομένως η εξίσωση της έλλειψης είναι \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1.

___________________________________________________
ΘΕΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ



__________________________________________________
ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΕΛΛΕΙΨΗΣ





 Όταν γνωρίζουμε το σημείο επαφής, η εφαπτόμενη βρίσκεται εύκολα.
π.χ. Να βρείτε την εφαπτομένη της έλλειψης 3x2+y2=4 στο σημείο της Α(1,1) και Β(0,2).
       Ο τύπος της εφαπτομένης είναι 3x1x+y1y=4.
       Στο Α: Για x1=1 και y1=1 θα γίνει ε: 3 \cdot 1x+1y=4
       Στο Β: Για x1=0 και y1=2 θα γίνει ε: 3 \cdot 0x+2y=4 δηλαδή y=2 (οριζόντια).

 Η εφαπτομένη...απ' την ανάποδη είναι το δύσκολο!
π.χ. Να βρείτε την εφαπτόμενη της έλλειψης 3x2+y2=4 η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία 
       η: y=-3x+5.
       Ξεκινάμε πάντα από το σημείο επαφής.
       Έστω Μ(x1,y1) το σημείο επαφής. Έχουμε δύο αγνώστους, άρα θέλουμε δύο εξισώσεις.
       α) Το Μ είναι σημείο της έλλειψης . Άρα 3x12+y12=4 (1)
       β) Η εφαπτομένη στο Μ έχει εξίσωση ε: 3x1x+y1y=4 με συντελεστή διεύθυνσης λε= - \frac{{3{x_1}}}{{{y_1}}}.
             Επειδή ε//η πρέπει λε=λη δηλαδή  - \frac{{3{x_1}}}{{{y_1}}}=-3 (2)
          Από τη λύση του συστήματος των (1) και (2) βρίσκουμε τα x1yκ.λ.π.



___________________________________________________
ΜΟΡΦΕΣ ΤΗΣ ΕΛΛΕΙΨΗΣ




3) Δύο ελλείψεις λέγονται όμοιες αν έχουν ίδια εκκεντρότητα.

 (Η τροχιά της Γης και των άλλων πλανητών γύρω από τον ήλιο είναι έλλειψη, με τον ήλιο να βρίσκεται στη μία εστία).


____________________________________________________
ΥΠΕΡΒΟΛΗ
Είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x,y) των οποίων η διαφορά των αποστάσεων
από τα σημεία Ε'(-γ,0) και Ε(γ,0) είναι σταθερή και ίση με 2α.


































____________________________________________________
ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ






Για να σχεδιάσουμε μία υπερβολή βρίσκουμε τη θέση των κορυφών Α(α,0) και Α(-α,0), στη συνέχεια κατασκευάζουμε τις ασύμπτωτες και τέλος την υπερβολή.








_____________________________________________________
ΘΕΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ
Έστω ε: y=λx+β μία ευθεία και C:Ax2+By2+Γx+Δy+E=0 μία καμπύλη (π.χ. κύκλος, παραβολή, έλλειψη, υπερβολή).
Για να βρούμε τα σημεία τομής τους, λύνουμε το σύστημα (ως προς x!!)
A) Αν η διακρίνουσα της δευτεροβάθμιας εξίσωσης που θα προκύψει είναι Δ>0, θα έχουν δύο κοινά σημεία με τετμημένες x1, x2.
BΑν η διακρίνουσα της δευτεροβάθμιας εξίσωσης που θα προκύψει είναι Δ=0θα έχουν ένα κοινό σημείο, που θα είναι σημείο επαφής. (Φανταστείτε την ευθεία ε να κινείται προς τα αριστερά ως ότου τα σημεία x1,xνα συμπέσουν).
Γ) Αν η διακρίνουσα Δ<0 η ευθεία και η καμπύλη δεν έχουν κοινά σημεία).




______________________________________________________________________________
π.χ. Να βρείτε το k ώστε η ευθεία y=2x+k να εφάπτεται στον κύκλο x2+y2=5.
         Τα κοινά σημεία των δύο εξισώσεων τα βρίσκουμε από την λύση του συστήματος
       y=2x+k   και
       x2+y2=5  (Αντικαθιστούμε την πρωτοβάθμια στην δευτεροβάθμια).
       x2+(2x+k)2=5 ή
       5x2+4kx+k2-5=0 (1)
       Για να εφάπτονται πρέπει η (1) να έχει διπλή ρίζα. Δηλαδή Δ=0.
       Δ=16k2-20(k2-5)=0... και τελικά k=5 ή k=-5.
       Άρα οι ευθείες y=2x+5 και y=2x-5 εφάπτονται στον κύκλο.

_______________________________________________________________________________
π.χ. Να βρείτε την παραβολή με άξονα συμμετρίας τον x'x, η οποία εφάπτεται στην ευθεία ε:y=-x-2.
       Θυμόμαστε! Αυτό που ζητάμε το "βαφτίζουμε".
      Έστω y2=2px η ζητούμενη παραβολή. Πρέπει να έχει με την ε ένα κοινό σημείο, που θα βρεθεί  
      από την λύση του συστήματος των δύο εξισώσεων.
      Έχουμε: (-x-2)2=2px
                     x2+4x+4=2px
                     x2+(4-2p)x+4=0 η οποία θα έχει μία μόνο ρίζα, αν Δ=0
                    Δ=(4-2p)2-16=0... και τελικά p=4, άρα y2=8x


______________________________________________________________________________
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ (Στις κωνικές τομές)
Κεφάλαιο 3 (Σελίδα 132)
1.Γ   2.Α   3.Γ   4.Γ   5.Γ   6.Γ   7.Α   8.Γ   9.Β   10.Γ   11
12. α222,  β=0,   α=0,   ρ=β,   ρ=α,   α=β=ρ
13. Ζεύγος ευθειών,  Κύκλος,  Παραβολή,  Έλλειψη,  Υπερβολή
14.  Έλλειψη,   Κύκλος,    Έλλειψη,   Υπερβολή,   Ισοσκελής Υπερβολή

___________________________________________________
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ
Έστω Ρ(ν) μια πρόταση που ισχύει για φυσικούς αριθμούς νЄΝ={1,2,3,...}
Για να την αποδείξουμε ακολουθούμε τα βήματα:
α) Αποδεικνύουμε ότι ισχύει για ν=1. (ή άλλο ανάλογα με την άσκηση)
β) Υποθέτουμε ότι ισχύει για ν=k
γ) Αποδεικνύουμε ότι ισχύει για ν=k+1. (Είναι o επόμενος του k)
Εάν ικανοποιούνται και τα τρία βήματα η πρόταση ισχύει για όλους τους φυσικούς αριθμούς.

π.χ. Να δείξετε ότι 1+3+5+7+...+(2ν-1)=ν2 (1)
      α) Αποδεικνύουμε ότι ισχύει για ν=1.
          Βάζουμε στην ισότητα (1) όπου ν το 1 και έχουμε 1=12 (ισχύει)
      β) Υποθέτουμε ότι ισχύει για ν=k.
          1+3+5+7+...+(2k-1)=k(1)
     γ) Αποδεικνύουμε ότι ισχύει για ν=k+1. Δηλαδή 1+3+5+7+...+(2k+1)=(k+1)2 (2)
        Την ισότητα (2) πρέπει να την γράφουμε γιατί θα την έχουμε οδηγό στο τρίτο βήμα,    
        σαν μπούσουλα. (Ξέρετε τι ήταν;)
       Έχουμε: 1+3+5+7+...+(2k-1)+(2k+1)=
                                                =k2+(2k+1)= (λόγω (1)
                                                =(k+1)2. Άρα ισχύει για όλους τους αριθμούς.


_________________________________________________________________________________________
π.χ. Να δείξετε ότι ο αριθμός 4ν+15ν-1 είναι πάντοτε πολλαπλάσιο του 9, για κάθε νЄΝ.
       αΑποδεικνύουμε ότι ισχύει για ν=1.
            41+15 \cdot 1-1=18 (πολλαπλάσιο του 9)
       βΥποθέτουμε ότι ισχύει για ν=k. Δηλαδή 4κ+15κ-1=9λ (1) (πολλαπλάσιο του 9)
       γΑποδεικνύουμε ότι ισχύει για ν=k+1.
           Δηλαδή 4κ+1+15(κ+1)-1=9λ (πολλαπλάσιο του 9)
          Έχουμε: 4κ+1+15(κ+1)-1=4 \cdot 4κ+15(κ+1)-1=
                                                  =4[9λ+1-15κ]+15κ+15-1 (Λύνουμε την (1) ως προς 4κ).
                                                  =36λ+4-60κ+15κ+14=
                                                  =9(4λ-5κ+2) δηλαδή πολλαπλάσιο του 9.



Ανισότητα του Bernoulli: Ισχύει (1+α)ν>1+να, για ν≥2 και -1<α≠0

Χρησιμεύει, συνήθως,για απόδειξη δύναμης μεγαλύτερης από γινόμενο.

π.χ. Να δείξετε ότι 5ν>4ν για κάθε νЄΝ*.
        αΑποδεικνύουμε ότι ισχύει για ν=1.
             5>4 Ισχύει.
        βΥποθέτουμε ότι ισχύει για ν=k. Δηλαδή 5κ>4κ (1)     
        γΑποδεικνύουμε ότι ισχύει για ν=k+1. Δηλαδή 5ν+1>4(κ+1)
            Έχουμε: 5ν+1=5 \cdot 5ν>5 \cdot 4κ (λόγω (1))
                                          >20κ (Άλλο ζητούσαμε, άλλο προέκυψε!!)
            Αρκεί αυτό που βρήκαμε να είναι μεγαλύτερο από αυτό θέλουμε.
            Δηλαδή 20κ>4(κ+1) ή
                          16κ>4, που ισχύει, αφού κ>1.

      2ος τρόπος
      Με εφαρμογή της ανισότητας Bernoulli για α=4.
      5ν=(1+4)ν>1+4ν>4ν.
          
__________________________________________________________________________
π.χ. Να δείξετε ότι 3ν2 για κάθε ν>3.
        αΑποδεικνύουμε ότι ισχύει για ν=4.
            34>42,  81>16, ισχύει.
        βΥποθέτουμε ότι ισχύει για ν=k. Δηλαδή 3κ>κ2 (1)    
        γΑποδεικνύουμε ότι ισχύει για ν=k+1. Δηλαδή 3κ+1>(κ+1)2
             Έχουμε: 3κ+1=3 \cdot 3κ>3κ(λόγω (1)).
            (Άλλο ζητούσαμε, άλλο προέκυψε!!)
             Αρκεί αυτό που βρήκαμε να είναι μεγαλύτερο από αυτό θέλουμε.
            Δηλαδή 3κ2>(κ+1)2 ή
                          3κ22+2κ+1 ή
                          2κ2-2κ-1>0, που ισχύει, αφού κ>3.

_______________________________________________
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ (Στην θεωρία αριθμών)
 Κεφάλαιο 4(σελίδα 183)
1. (i) A          (ii) Ψ        (iii) A
2. (i) A          (ii) Ψ        (iii) Ψ       (iv) Ψ      (v) Ψ
3. (i) Ψ          (ii) Α        (iii) Α       (iv) Ψ      
4. (i) Α          (ii) Ψ
5. (i) Ψ          (ii) Α
6. (i) Ψ          (ii) Α
7. (i) Ψ          (ii) Α
8. (i) Ψ          (ii) Ψ
9. (i) Ψ          (ii) Α       (iii) Α

1.Δ     2.Γ     3.Γ     4.Β      5.Β      6